Diferencia de medias

Sean dos poblaciones con μ1 y μ2, σ1 y σ2 conocidas.




n1=16

Normal

μ1=75

σ1=8

n2=9

Normal

μ2=75

σ2=8






La diferencia de medias de las muestras extraídas es 4.








=1-0.4129
=0.5871


Inferencia Estadistica

El campo de la inferencia estadística está formado por los métodos utilizados para tomar decisiones o para obtener conclusiones sobre una población. Estos métodos utilizan la información contenida en una muestra de la población para hacer conclusiones.
La inferencia estadística puede dividirse en dos grandes áreas: estimación de parámetros y prueba de hipótesis.

Conceptos:

-Una población está formada por la totalidad de las observaciones en las cuales tiene cierto interés.

-Una muestra es un subconjunto de observaciones seleccionadas de una población.

-Las variables aleatorias (X1,X2,...,Xn) constituyen una muestra aleatoria de tamaño n, si: a)Las Xi son variables aleatorias independientes.
b)Todas las Xi, tienen la misma distribución de probabilidad.

-Un estadístico es cualquier función de las observaciones contenidas en una muestra aleatoria.

Ejemplo...
Una compañía de electrónica fabrica resistencia que tienen:
µ=100Ω
σ =10Ω
La distribución de los valores de resistencia es normal encuéntrese la probabilidad de que al tomar una muestra de n=25 resistencia que la resistencia sea menor que 95Ω.







Supóngase que un canal de comunicación digital el número de bits que se reciben de manera errónea puede utilizarse una variable aleatoria binomial cuya función es

Si se reciben 16000000 bits cual es la probabilidad de que se presenten más de 150 errores

p=0.00001
n=16000000 bits

µ=nP





µ=(16000000)0.00001=160





P(X>150)= 1 - P(X<150)=>150)=1-0.2148=0.7852


Ahora supóngase que solo se transmiten 50 bits y p=0.1 encuentre la probabilidad de dos errores.
Cual es el error involucrado al hacer esta aproximación?

n=50
p=0.1


P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)

P(X≤2)=0.11



P(X≤2)=P(Z<-1.4)=0.08

0.11-0.08=0.03

Por lo el margen de error es igual a un 3%.

Distribución Binomial



La posibilidad de que cada muestra de aire contenga una molécula rara particular es de 10% supóngase que las muestras son independientes con respecto a la presencia de la molécula encuéntrese la probabilidad de que:
a) Las 18 muestras siguientes exactamente dos contengan la molécula rara.




P(X=2)=0.28

b) Al menos cuatro muestras contengan la molécula rara.

P(X≥4)= 1 - [P(X=4)+P(X=3)+P(X=2)+P(X=1)+P(X=0)]

P(X≥4)= 1 - [0.069+.16+.28+.3+.15]=1-0.959 = 0.041

c)P(3≤X<7)= P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6) = 0.16+0.069+0.0217+0.0052

P(3≤X<7)= 0.2552

Funciones de Probabilidad

  • Discreta: X- Variable aleatoria discreta(contable).
  • Continua:X-Variable aleatoria continua(medible ; tiempo, peso, altura)
Ensayos de Bernoulli.

1) Los ensayos son independientes
2) Cada ensayo tiene solo dos resultados posibles denominados "éxito" y "fracaso".
3) La probabilidad de éxito de cada ensayo, denotada por p permanece constante.

Probabilidad de que sea defectuosa

s={d,nd,nnd,nnnd....}

X-{número de defectos}

p(d)=0.01

Ejemplo

Si se tiene la posibilidad de recibir de manera errónea un bit transmitido por un canal digital es 0.1, ademas suponga se que los ensayos son independientes.
Sea la variable aleatoria X={número de bits con error en los próximos cuatro que serán transmitidos escríbase el espacio muestral de este experimento y indique el valor de la probabilidad para cada resultado.

Probabilidad de éxito = 0.1
Probabilidad de fracaso =1-0.1= 0.9

C = Correcto

E= Erróneo

P(C) = 0.9
P(E) = 0.1

a)Espacio muestral

CCCC

.9*.9*.9*.9

0.064

ECCC

.1*.9*.9*.9

0.0729

CCCE

.9*.9*.9*.1

0.0729

ECCE

.1*.9*.9*.1

0.0081

CCEC

.9*.9*.1*.9

0.0729

ECEC

.1*.9*.1*.9

0.0081

CCEE

.9*.9*.1*.1

0.0081

ECEE

.1*.9*.1*.1

0.0009

CECC

.9*.1*.9*.9

0.0729

EECC

.1*.1*.9*.9

0.0081

CEEC

.9*.1*.1*.9

0.0081

EECE

.1*.1*.9*.1

0.0009

CEEE

.9*.1*.1*.1

0.0009

EEEC

.1*.1*.1*.9

0.0009

CECE

.9*.1*.9*.1

0.0081

EEEE

.1*.1*.1*.1

.0001

b)P(X=x)

P(X=0) = 0.656
P(X=1) = 4(0.0729)=0.2916
P(X=2) = 6(0.0081)=0.0486
P(X=3) = 4(0.0009)=0.0036
P(X=4) = 0.0001


Revisando un lote.
X-Variable aleatoria{número de rayas}

Rayas 10-19

X

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

Total

fr.

6

1

1

3

2

2

0

1

4

0

20

f(x)

0.3

0.05

0.05

0.15

0.1

0.1

0

0.05

0.2

0

1

f(10)=P(X=10)=0.3

P(X=14)=0.1

f(10)=P(X=10)=0.3


f(x)=P(X)


La función de probabilidad f(x) - proporción de los ensayos en los que X=x, dado esto, la media de los valores de X puede calcularse como el promedio ponderado de los valores posibles de X, asignando al resultado X un factor de ponderación. "f(x)"


f(x)=P(X=x)


Como la variable 10 se presenta seis veces su ponderación es 0.3.




M=10(0.3)+11(0.05)+13(0.05)+....+19(0)


M=3+0.55+0.55+1.95+1.4+1.5+0.85+3.6


M=13.45


Si se compara el diseño de dos nuevos productos en base a las ganancias esperadas para cada uno de ellos; el departamento de mercadotecnia considera que el diseño A puede estimarse con bastante exactitud, en 3 millones de dolares. La ganancia de el diseño B es más difícil de evaluar. El departamento de mercadotecnia concluye que existe una probabilidad de 0.3 de que la ganancia del diseño B sea 7 millones de dolares existe una probabilidad de 0.7 de que esta sea solo de 2 millones. Qué diseño es el que debe preferirse?

0.7(2)+0.3(9)=3.5 Esperanza







Funciones de distribución acumulada

La función discreta de una variable aleatoria discreta X, se denota por Fx(x), es



Para una variable aleatoria discreta X, Fx(x) satisface las propiedades siguientes







Si x≤ y , entonces
-------------------------------------------------------------------
-Los valores (X-x1),(X-x2),(X-x3), son mutuamente exclyentes para una variable por consiguiente la probabilidad



Ejemplo
La producción diaria de 850 partes de estas 50 son defectuosas.
De un lote se escogen dos partes al azar sin reemplazo sea la variable aleatoria X el número de partes de la muestra que no cumple con los requerimientos cual es la función de distribución acumulada de X.

X= número de partes defectuosas

s={0,1,2}



X

P(x)

D

D

2

0.003

Nd

D

1

0.055

D

Nd

1

0.055

Nd

Nd

0

0.886

Función de probabilidad


f(0)=0.886
f(1)=0.886+0.111=0.997
f(2)=0.997+0.003=1
Tabla de distribución de frecuencias acumuladas



Ejemplo 2
El espacio muestral de un experimento aleatorio es:

s={a,b,c,d,e,f}

y cada resultado es igualmente posible
1)Determine la función de probabilidad de X
2)Determine la función de distribución acumulada

Se define la variable aleatoria de la siguiente manera para el valor

Resultado

A

B

C

D

E

F

X

0

0

1.5

1.5

2

3

P(x)

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6



f(0)=1/3
f(1.5)=1/3+1/3=2/3
f(2)=2/3+1/6=5/6
f(3)=5/6+1/6=1


f(x)=
0, X<0 style="text-align: center;">

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