Diagramas de Venn

Ejemplo1
se analizan muestras de policarburato y se mide su resistencia a la rayaduras y alos golpes clasificándolos en alta y baja los resultados se desglosan así:

Resistencia a los golpes
Resistencia a
las rayaduras


Alta

Baja

Alta

40

4

Baja

2

3





Sea A el evento la muestra que tiene una alta resistencia a las rayaduras y sea B el evento la muestra que tiene una alta resistencia alas golpes.


Determina





Represente con diagramas de Venn este espacio muestral los eventos A y B indique el número de resultados en cada región del diagrama.







Ejemplo2
Experimento: Se toman muestras de una pieza fundida de aluminio y se clasifican en la función del acabado de la superficie(en micropulgadas) y con las mediciones de longitud.
A continuación se resumen los resultados obtenidos con 100 muestras.

Sea A el evento donde la muestra tiene un acabado excelente y B donde la muestra tiene una longitud excelente determine el numero de muestras en :



Longitud excelente
Acabado de la superficie


Excelente

Bueno

Excelente

75

7

Bueno

10

8






Eventos

Un evento es un subconjunto de el espacio muestral.

Retomando el Ejemplo 3

Espacio muestral-S = {RB,RA,BR,BA,AR,AB}
n(s) = 6

Subconjunto A = {x│ x es rojo y blanco}
n(A) = 2
A = {BR,RB}

Subconjunto B = {x│x la primer pelota sea blanca}
n(B) = 2
B = {BA,BR}

Subconjunto C = {x│x es una pelota roja y una blanca}
n(C) = 2
C = {RB,BR}

Conjunto








Ejemplo 2
Las mediciones de el tiempo al minuto mas próximo necesario para completar una reacción química pueden modelarse utilizando el espacio muestral.

S={1,2,3,.........} , Infinito conjunto universal..







Encontrar:










Todos los elementos que no pertenecen al evento uno.















Diagrama de Arbol

Un diagrama de árbol es una representación gráfica que muestra los resultados posibles de una serie de experimentos y sus respectivas probabilidades.

Ejemplo1

Experimento: Se lanza una moneda, si sale águila se lanza un dado y si sale sol se lanza la moneda de nuevo.

Diagrama de Arbol



Espacio muestral
S:{A1,A2,A3,A4,A5,A6,SS,SA}
n(s)=8

Ejemplo2
Experimento: Suponga que de un proceso de fabricación se seleccionan tres artículos de forma aleatoria. Cada articulo se inspecciona se clasifica como defectuoso o no defectuoso.

S={DDD, DDN,DND,DNN,NDD,NND,NNN}
n(s)=8

Ejemplo 3
Experimento: Se tienen tres pelotas en una bolsa de color blanco, azul y amarillo, si se saca una pelota pero no se regresa y se vuelve a sacar otra. ¿Cuál sera el espacio muestral?

S={RB,RA,BR,BA,AR,AB}
n(s)=6


Espacio Muestral

Ejemplo 1
Experimento - Lanzar un dado dos veces.
Un dado puede tener 6 valores diferentes de el 1 al 6 por lo tanto-

S= {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

¿Cuál es la probabilidad de que sume 5?


{1,4),(2,3),(3,2),(4,1)

Tarea : ¿Cuál sería el espacio muestral de lanzar un dado seis veces?

S= {(1,1,1,1,1,1,1),(1,2,1,1,1,1),(1,1,2,1,1,1), ect......

Nota: El total de resultados posibles son 46656.

Conceptos Basicos

- Fenómeno Aleatorio: Es un fenómeno fundado en la experiencia, el cual al repetirlo y observarlo sin que cambien las condiciones en que se desarrolla no siempre produce el mismo resultado sino que los datos o mediciones suceden con regularidad estadística.

- Espacio Muestral : Es el conjunto de todos los resultados posibles que pueden ocurrir al practicar un experimento; se denota con la letras S.

- Evento : Es un subconjunto de un espacio muestral.



Probabilidad

  • Es una rama de las matemáticas que construye y estudia los métodos para medir y ánalizar fenómenos aleatorios, en los cuales cada resultado posible es producto al azar.
Fuente:
Probabilidad y estadística
Editorial DGETI
Autor: Miguel A. Marquéz Elías

Boxplot o Diagrama de Caja con Bigotes

Un diagrama de caja es un gráfico, basado en cuartiles, mediante el cual se visualiza un conjunto de datos.

En un gráfico que se suministra información sobre la mediana, El cuartil Q1 y Q3, sobre la existencia de atípicos y la simetría de la distribución.


Retomando el ejercicio 1

Muestra:

97, 105, 131, 134, 151, 153, 154, 154, 157, 160, 163, 174, 175, 178, 180, 183, 190, 196, 199, 201, 207, 218, 221, 228, 245.



  • Cuartil 1: Q(1) = percentil 25% = 25(.25)=X(6.25)=153
  • Cuartil 2: Q(1) = percentil 50%=25 (.50) = X(13)=175
  • Cuartil 3: Q(1) = percentil 75% = 25(.75)=X(18.75)=198


Diagrama de Tallo

El tallo esta formado por uno o mas de los dígitos principales y una hoja la cual contiene el resto de los dígitos. En general debe escogerse un numero relativamente pequeño de tallos en comparación con el número de observaciones lo cuál es seleccionar entre 5 y 20 tallos.

76 87 97 101 105 110 115 118 120
121 123 131 133 133 134 135 135
141 142 143 145 146 148 149 149
150 150 151 153 154 154 156 157
157 158 158 158 158 160 160 160
163 163 165 167 167 168 169 170
171 171 172 174 174 175 176 178
180 180 181 181 183 184 186 190
193 194 196 199 199 200 201 207
208 218 221 228 229 237 245

Tallo

Hoja

Frecuencia

7

6

1

8

7

1

9

7

1

10

1,5

2

11

0,5,8

3

12

0,1,3

3

13

1,3,3,4,5,5

6

14

1,2,3,5,6,8,9,9

8

15

0,0,1,3,4,4,6,7,7,8,8,8,8

13

16

0,0,0,3,3,5,7,7,,8,9

10

17

0,1,1,2,4,4,5,6,8

9

18

0,0,1,1,3,4,6

7

19

0,3,4,6,9,9

6

20

0,1,7,8

4

21

8

1

22

1,8,9

3

23

7

1

24

5

1

Distribuciones de Frecuencias

Datos agrupados

Cuando se toman datos experimentales o por observación, estos aparecen sin orden, por eso se les llama datos en bruto o crudos.
Los datos crudos pueden ordenarse o agruparse del mayor al menor o del menor al mayor. Esto al menos permite saber cuál es el dato mayor, el menor y cuáles datos están en el centro.

Frecuencia: es el número de veces que se repite un dato.

Los datos en bruto también pueden agruparse en una tabla de frecuencias.

Clase: Es un intervalo o un subconjunto de una escala útil para comparar mediciones o características y determinar cuáles, por su magnitud o cualidad, le pertenecen.

Para obtener el número de clases se puede usar una formula sencilla



Formula para ancho de clase:]



Formula para Marca de Clase


Ejemplo

Muestra:

97, 105, 131, 134, 151, 153, 154, 154, 157, 160, 163, 174, 175, 178, 180, 183, 190, 196, 199, 201, 207, 218, 221, 228, 245.







Tabla de Distribución de Frecuencias

Int. de Clase

Frecuencia

Marca de Clase

Fr * MC

95≤X<125

2

110

220

125≤X<155

6

140

840

155≤X<185

8

170

1360

185≤X<215

5

200

1000

215≤X<245

4

230

920

Total

25


4390



Histograma y Polígono de Frecuencias


Medidas de Dispersión.

-El Rango es equivalente al valor máximo menos el valor mínimo de una muestra.



- Desviación media

Para describir la dispersión de los datos, se prefiere utilizar una medida de tendencia central como referencia porque se calcula con todos los valores de las mediciones y su posición central. Esto es lo que sucede con la desviación media, una medida de la dispersión de las mediciones alrededor de la media aritmética.

La desviación media, DM, de un conjunto de valores numéricos de una muestra se define como:



donde es el i-ísimo valor numérico, i = 1,2..., n; es el valor absoluto de la diferencia entre el i-ísimo valor numérico y la media aritmética, esto es, se toma el valor positivo de la diferencia, y n es el total de datos de la muestra. Dado que se utilizan valores absolutos, la desviación media siempre es positiva.

- Varianza y desviación estándar

Al promedio de las desviaciones cuadráticas se les llama varianza.

La varianza de una muestra de n mediciones es(varianza muestral):

Photobucket


La varianza de una población de tamaño N es(varianza poblacional):





La varianza es un concepto abstracto, siendo sus unidades cuadráticas. Por lo que para medir la dispersión de los datos en unidades "normales", se calcula la raíz cuadrada de la varinza, que se denomina estándar(o típica).

*La desviacion estandar o tipica de una muestra es:



*La desviación estándar o tipica de una población es :




- Percentiles

El percentil p de un grupo de datos ordenados: Es el valor x(p) para el cual p por ciento de las mediciones que sean menores que él.

Se calcula el dato percentil p con la fórmula



donde p es el porcentaje de datos que deben ser menores que el valor del percentil requerido: 10%,25%,38%,75%...; y n es el número de datos.

El calculo del percentil 75 por ciento, de n=40:




- Cuartiles

Los cuartiles son percentiles que parten un grupo de mediciones ordenadas ascendente o descendentemente en cuartos, es decir, en subgrupos de datos cada uno con 25% de ellos, de acuerdo con las siguientes definiciones y notación.

  • Cuartil 1: Q(1) = percentil 25% = x(25)
  • Cuartil 2: Q(1) = percentil 50%= x(50) = LA MEDIANA
  • Cuartil 3: Q(1) = percentil 75% = x(75)

Ejercicio 1

Muestra:

97, 105, 131, 134, 151, 153, 154, 154, 157, 160, 163, 174, 175, 178, 180, 183, 190, 196, 199, 201, 207, 218, 221, 228, 245.

Media :




Mediana:

La muestra es impar por lo tanto,




Moda:





Observación



97

-77

5929

237.16

15.4

105

-69

4761

190.44

13.8

131

-43

1849

73.96

8.6

134

-40

1600

64

8

151

-23

529

21.16

4.6

153

-21

441

17.64

4.2

154

-20

400

16

4

157

-17

289

11.54

3.4

160

-14

196

7.84

2.8

163

-11

121

4.84

2.1

174

0

0

0

0

175

1

1

.04

.63

178

4

16

.64

.8

180

6

36

1.44

1.2

183

9

81

3.24

1.8

190

16

256

10.24

3.2

196

22

484

19.36

4.4

199

25

625

25

5

201

27

729

29.16

5.4

207

33

1089

43.56

6.6

218

44

1936

77.44

8.8

221

47

2209

88.36

9.4

228

54

2916

116.64

10.8

245

71

5041

201.64

14.2





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