Probabilidad y Estadistica: Medidas de Dispersión.

Medidas de Dispersión.

Publicado por Cristobal Guerrero en 18:55

-El Rango es equivalente al valor máximo menos el valor mínimo de una muestra.

$Rango = Vmax - Vmin$

- Desviación media

Para describir la dispersión de los datos, se prefiere utilizar una medida de tendencia central como referencia porque se calcula con todos los valores de las mediciones y su posición central. Esto es lo que sucede con la desviación media, una medida de la dispersión de las mediciones alrededor de la media aritmética.

La desviación media, DM, de un conjunto de valores numéricos de una muestra se define como:

$DM=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n \left| X_1-\overline{X}\right|}n=\frac{\left| X_1-\overline{X}\right|+\left| X_2-\overline{X}\right|+...+\left| X_n-\overline{X}\right|}n ,$

donde $X_1$ es el i-ísimo valor numérico, i = 1,2..., n; $\left| X_i-\overline{X}\right|$ es el valor absoluto de la diferencia entre el i-ísimo valor numérico y la media aritmética, esto es, se toma el valor positivo de la diferencia, y n es el total de datos de la muestra. Dado que se utilizan valores absolutos, la desviación media siempre es positiva.

- Varianza y desviación estándar

Al promedio de las desviaciones cuadráticas se les llama varianza.

La varianza de una muestra de n mediciones es(varianza muestral):

La varianza de una población de tamaño N es(varianza poblacional):

$\sigma^2= \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X}\right)^2}N$

La varianza es un concepto abstracto, siendo sus unidades cuadráticas. Por lo que para medir la dispersión de los datos en unidades "normales", se calcula la raíz cuadrada de la varinza, que se denomina estándar(o típica).

*La desviacion estandar o tipica de una muestra es:

$\sqrt{s^2}=s$

*La desviación estándar o tipica de una población es :

$\sqrt{\sigma^2}=\sigma$

- Percentiles

El percentil p de un grupo de datos ordenados: Es el valor x(p) para el cual p por ciento de las mediciones que sean menores que él.

Se calcula el dato percentil p con la fórmula

$D(p)=\frac{p(n)+p}{100} ,$

donde p es el porcentaje de datos que deben ser menores que el valor del percentil requerido: 10%,25%,38%,75%...; y n es el número de datos.

El calculo del percentil 75 por ciento, de n=40:

$D(75)=\frac{75(40)+75}{100}=30.75$

- Cuartiles

Los cuartiles son percentiles que parten un grupo de mediciones ordenadas ascendente o descendentemente en cuartos, es decir, en subgrupos de datos cada uno con 25% de ellos, de acuerdo con las siguientes definiciones y notación.

Cuartil 1: Q(1) = percentil 25% = x(25)
Cuartil 2: Q(1) = percentil 50%= x(50) = LA MEDIANA
Cuartil 3: Q(1) = percentil 75% = x(75)

Ejercicio 1

Muestra:

97, 105, 131, 134, 151, 153, 154, 154, 157, 160, 163, 174, 175, 178, 180, 183, 190, 196, 199, 201, 207, 218, 221, 228, 245.

Media :

$\overline{X}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n i(X_i)}n =\fra{4354}{25}=174.16$

Mediana:

La muestra es impar por lo tanto,

$\tilde{X}=X\frac{25+1}2=X13=175$

Moda:

$\widehat{X}=154$

Observación $Xi$	$Xi-\overline{X}$	$(Xi-\overline{X})^2$	$\frac{(Xi-\overline{X})^2}N$	$\sigma=\sqrt{\sigma^2}$
97	-77	5929	237.16	15.4
105	-69	4761	190.44	13.8
131	-43	1849	73.96	8.6
134	-40	1600	64	8
151	-23	529	21.16	4.6
153	-21	441	17.64	4.2
154	-20	400	16	4
157	-17	289	11.54	3.4
160	-14	196	7.84	2.8
163	-11	121	4.84	2.1
174	0	0	0	0
175	1	1	.04	.63
178	4	16	.64	.8
180	6	36	1.44	1.2
183	9	81	3.24	1.8
190	16	256	10.24	3.2
196	22	484	19.36	4.4
199	25	625	25	5
201	27	729	29.16	5.4
207	33	1089	43.56	6.6
218	44	1936	77.44	8.8
221	47	2209	88.36	9.4
228	54	2916	116.64	10.8
245	71	5041	201.64	14.2