Probabilidad y Estadistica

Ejemplo1
se analizan muestras de policarburato y se mide su resistencia a la rayaduras y alos golpes clasificándolos en alta y baja los resultados se desglosan así:

Represente con diagramas de Venn este espacio muestral los eventos A y B indique el número de resultados en cada región del diagrama.





Acabado de la superficie

	Excelente	Bueno
Excelente	75	7
Bueno	10	8

Un evento es un subconjunto de el espacio muestral.

Retomando el Ejemplo 3

Espacio muestral-S = {RB,RA,BR,BA,AR,AB}
n(s) = 6

Subconjunto A = {x│ x es rojo y blanco}
n(A) = 2
A = {BR,RB}

Subconjunto B = {x│x la primer pelota sea blanca}
n(B) = 2
B = {BA,BR}

Subconjunto C = {x│x es una pelota roja y una blanca}
n(C) = 2
C = {RB,BR}

Conjunto








Ejemplo 2
Las mediciones de el tiempo al minuto mas próximo necesario para completar una reacción química pueden modelarse utilizando el espacio muestral.

S={1,2,3,.........} , Infinito conjunto universal..







Encontrar:










Todos los elementos que no pertenecen al evento uno.

Un diagrama de árbol es una representación gráfica que muestra los resultados posibles de una serie de experimentos y sus respectivas probabilidades.

Ejemplo1

Experimento: Se lanza una moneda, si sale águila se lanza un dado y si sale sol se lanza la moneda de nuevo.

Ejemplo 3
Experimento: Se tienen tres pelotas en una bolsa de color blanco, azul y amarillo, si se saca una pelota pero no se regresa y se vuelve a sacar otra. ¿Cuál sera el espacio muestral?

Ejemplo 1
Experimento - Lanzar un dado dos veces.
Un dado puede tener 6 valores diferentes de el 1 al 6 por lo tanto-

S= {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

¿Cuál es la probabilidad de que sume 5?


{1,4),(2,3),(3,2),(4,1)

Tarea : ¿Cuál sería el espacio muestral de lanzar un dado seis veces?

S= {(1,1,1,1,1,1,1),(1,2,1,1,1,1),(1,1,2,1,1,1), ect......

Nota: El total de resultados posibles son 46656.

- Fenómeno Aleatorio: Es un fenómeno fundado en la experiencia, el cual al repetirlo y observarlo sin que cambien las condiciones en que se desarrolla no siempre produce el mismo resultado sino que los datos o mediciones suceden con regularidad estadística.

- Espacio Muestral : Es el conjunto de todos los resultados posibles que pueden ocurrir al practicar un experimento; se denota con la letras S.

- Evento : Es un subconjunto de un espacio muestral.

• Es una rama de las matemáticas que construye y estudia los métodos para medir y ánalizar fenómenos aleatorios, en los cuales cada resultado posible es producto al azar.
  

Fuente:
Probabilidad y estadística
Editorial DGETI
Autor: Miguel A. Marquéz Elías

Un diagrama de caja es un gráfico, basado en cuartiles, mediante el cual se visualiza un conjunto de datos.

En un gráfico que se suministra información sobre la mediana, El cuartil Q1 y Q3, sobre la existencia de atípicos y la simetría de la distribución.

Retomando el ejercicio 1

Muestra:

97, 105, 131, 134, 151, 153, 154, 154, 157, 160, 163, 174, 175, 178, 180, 183, 190, 196, 199, 201, 207, 218, 221, 228, 245.

• Cuartil 1: Q(1) = percentil 25% = 25(.25)=X(6.25)=153
  
• Cuartil 2: Q(1) = percentil 50%=25 (.50) = X(13)=175
  
• Cuartil 3: Q(1) = percentil 75% = 25(.75)=X(18.75)=198

El tallo esta formado por uno o mas de los dígitos principales y una hoja la cual contiene el resto de los dígitos. En general debe escogerse un numero relativamente pequeño de tallos en comparación con el número de observaciones lo cuál es seleccionar entre 5 y 20 tallos.

Datos agrupados

Cuando se toman datos experimentales o por observación, estos aparecen sin orden, por eso se les llama datos en bruto o crudos.
Los datos crudos pueden ordenarse o agruparse del mayor al menor o del menor al mayor. Esto al menos permite saber cuál es el dato mayor, el menor y cuáles datos están en el centro.

Frecuencia: es el número de veces que se repite un dato.

Los datos en bruto también pueden agruparse en una tabla de frecuencias.

Clase: Es un intervalo o un subconjunto de una escala útil para comparar mediciones o características y determinar cuáles, por su magnitud o cualidad, le pertenecen.

Para obtener el número de clases se puede usar una formula sencilla



Formula para ancho de clase:]



Formula para Marca de Clase


Ejemplo

97, 105, 131, 134, 151, 153, 154, 154, 157, 160, 163, 174, 175, 178, 180, 183, 190, 196, 199, 201, 207, 218, 221, 228, 245.

- Desviación media

Para describir la dispersión de los datos, se prefiere utilizar una medida de tendencia central como referencia porque se calcula con todos los valores de las mediciones y su posición central. Esto es lo que sucede con la desviación media, una medida de la dispersión de las mediciones alrededor de la media aritmética.

La desviación media, DM, de un conjunto de valores numéricos de una muestra se define como:



donde es el i-ísimo valor numérico, i = 1,2..., n; es el valor absoluto de la diferencia entre el i-ísimo valor numérico y la media aritmética, esto es, se toma el valor positivo de la diferencia, y n es el total de datos de la muestra. Dado que se utilizan valores absolutos, la desviación media siempre es positiva.

- Varianza y desviación estándar

Al promedio de las desviaciones cuadráticas se les llama varianza.

La varianza de una muestra de n mediciones es(varianza muestral):




La varianza de una población de tamaño N es(varianza poblacional):





La varianza es un concepto abstracto, siendo sus unidades cuadráticas. Por lo que para medir la dispersión de los datos en unidades "normales", se calcula la raíz cuadrada de la varinza, que se denomina estándar(o típica).

*La desviacion estandar o tipica de una muestra es:



*La desviación estándar o tipica de una población es :




- Percentiles

El percentil p de un grupo de datos ordenados: Es el valor x(p) para el cual p por ciento de las mediciones que sean menores que él.

Se calcula el dato percentil p con la fórmula



donde p es el porcentaje de datos que deben ser menores que el valor del percentil requerido: 10%,25%,38%,75%...; y n es el número de datos.

El calculo del percentil 75 por ciento, de n=40:




- Cuartiles

Los cuartiles son percentiles que parten un grupo de mediciones ordenadas ascendente o descendentemente en cuartos, es decir, en subgrupos de datos cada uno con 25% de ellos, de acuerdo con las siguientes definiciones y notación.

• Cuartil 1: Q(1) = percentil 25% = x(25)
  
• Cuartil 2: Q(1) = percentil 50%= x(50) = LA MEDIANA
  
• Cuartil 3: Q(1) = percentil 75% = x(75)

Mediana:

La muestra es impar por lo tanto,




Moda:

Observación
97	-77	5929	237.16	15.4
105	-69	4761	190.44	13.8
131	-43	1849	73.96	8.6
134	-40	1600	64	8
151	-23	529	21.16	4.6
153	-21	441	17.64	4.2
154	-20	400	16	4
157	-17	289	11.54	3.4
160	-14	196	7.84	2.8
163	-11	121	4.84	2.1
174	0	0	0	0
175	1	1	.04	.63
178	4	16	.64	.8
180	6	36	1.44	1.2
183	9	81	3.24	1.8
190	16	256	10.24	3.2
196	22	484	19.36	4.4
199	25	625	25	5
201	27	729	29.16	5.4
207	33	1089	43.56	6.6
218	44	1936	77.44	8.8
221	47	2209	88.36	9.4
228	54	2916	116.64	10.8
245	71	5041	201.64	14.2